pythonで”デカルトの正葉線”を書いてみた
お久しぶりです（）
前回の記事が9月なのでもう半年たちます。
私はというと、無事東京大学理科一類二年に進級することができました〜 ＜👏👏
Aセメスターの授業の振り返りとかやってみたいですね、また別の記事でやります（本当は2月頭の時点でやるべき）
今日の内容は陰関数のグラフをpythonで書いてみようという話です。
そこで槍玉に上がったのがデカルトの正葉線というやつ。以下のような陰関数のグラフです。
$$x^3 + y^3 = 3xy$$
なおパソコンについてたソフトで書くとこんな感じです
これ、$y =$の形で表そうとしたら $y$ の三次方程式 $y^3 - 3xy +x^3 = 0$ の解になるんですが、この解を微分して調べて、その後pythonで計算させてグラフを描かせました。
微分を使った考察
この関数はどこかで多価関数になるので、まず自分で
上の方程式を微分してみて考察した。
$$f(y) = y^3 - 3xy +x^3$$
とおくと
$$f'(y) = 3y^2 -3x$$
で、以下の３通りの場合がある。
(1) $x \leq 0$ のとき $f'(y) \geq 0$より$f(y)$は単調増加。
(2) $0 < x \leq 4^\frac{1}{3}$ のとき $f(y) = 0$ は解を３つ( $x =4^\frac{1}{3}$ のときは２つ)持つ。
(3) $x > 4^\frac{1}{3}$ のとき$f(y) = 0$ は解をただ１つ持つ。
アルゴリズム
$x$ を離散的な値に固定し、$y$ の三次方程式を近似的に解いて逐一値を配列に格納し、最後にプロットする。
具体的には、$-2.5 \leq x < 2.5$ の区間を $N$ 等分して( $N$ はあとでいろいろ変える)、そのそれぞれの値について次のアルゴリズムを用いて $y$ を求めた。ステップ数は100(これは適当)
(1)の場合→ $y = 0$ を初期値としニュートン法を用いた。
(2)の場合
→一番小さい $y$ の値は $y = -\sqrt{x} - 1$ を初期値とするニュートン法
真ん中の値は $y = \pm \sqrt{x}$ を初期値とする二分法
一番大きい値は $y = \sqrt{x} + 1$ を初期値とするニュートン法
を用いた。
(3)の場合→ $y = -\sqrt{x} - 1$ を初期値とするニュートン法を用いた。
真ん中の解だけはニュートン法での初期値を設定するのがめんどくさかったため二分法を用いた。
値の格納が一番苦労した。その話は最後に。
実装
ソースコードは載せるの恥ずかしいごちゃごちゃなやつなんで許してください、、、
結果はこんな感じ
$N = 1000$ だとつなぎ目が不自然になってしまってるが、$N = 10000$ だと綺麗に書くことができた。
色が変わってるのは、多価関数ゆえ配列を複数使ったことを示したかったためだ。
青→$x \leq 4^\frac{1}{3}$ を満たす配列に、(1)の $y$ の値と (2) の真ん中の値の入った配列が対応
橙→$0 < x \leq 4^\frac{1}{3}$ を満たす配列に、(2) の小さい方のの値の入った配列が対応
緑→$0 < x \leq 4^\frac{1}{3}$ を満たす配列に、(2) の大きい方のの値の入った配列が対応
赤→$x > 4^\frac{1}{3}$ を満たす配列に、(3) の値の入った配列が対応
最初違う配列の取り方でやったら途中でガタッとなる不連続なグラフが表示されてだるかった。
（今気づいたんだけどこのグラフの "y=x" 対称性を使えば配列の組が２個で済むじゃん、、、）
複素関数の微分
厳密ではないのでどうかそこは見逃してください。
複素数z=x＋iyに対しu(x,y)＋iv(x,y)は一つに定まるから、これをzの関数f(z)のように書く。
f(z)の微分について調べる。
(f(z＋dz)ーf(z))/dz=A＋iB
となるときf(z)は微分可能と言える。
(Δz→0の時Δzを便宜的にdzと書いてしまった。そうすると計算がしやすいので)
今dzはΔzだと思っているので
f(z＋dz)ーf(z)=(A＋iB)dzとやって構わない。
左辺をu,vを使って書き換えるとz＋dzはx＋dx＋i(y＋dy) に対応し
↓f(z+dz) ↓f(z)
{u(x＋dx,y＋dy)＋iv(x＋dx,y＋dy)}ー{u(x,y)＋iv(x,y)}＝(A＋iB)dz
dz=dx＋idyと考えられるので
{u(x＋dx,y＋dy)＋iv(x＋dx,y＋dy)}ー{u(x,y)＋iv(x,y)}=(A＋iB)(dx＋idy)
展開し、実部虚部を分けて
u(x＋dx,y＋dy)ーu(x,y)
＋i{v(x＋dx,y＋dy)ーv(x,y)}=(AdxーBdy)＋i(Bdx＋Ady)
実部虚部それぞれ比較して
u(x＋dx,y＋dy)ーu(x,y)＝AdxーBdy
v(x＋dx,y＋dy)ーv(x,y)＝Bdx＋Ady
ux＝A,uy＝-B
vx＝B,vy＝A
よって
ux＝vy,uy＝-vx
多分逆も言えるはず（ここで息絶える、、、）
無罪モラトリアム(椎名林檎,1999) レビュー
皆さん最近いかがお過ごしでしょうか。残暑お見舞い申し上げます。この暑さですから、家の中でゆっくりと音楽でも聞くのもいいんじゃないでしょうか。
ということで、椎名林檎のファーストアルバム、無罪モラトリアムを紹介したい(あんまり関係ない)。20年前のものなんで結構昔。それでも色褪せない良さがあると思う。ジャケットはこんな感じ。
いかにもセンセーショナルって感じでイカツくてちょっと手に取りづらい。
全11曲。収録曲は以下の通り。
1.正しい街
2.歌舞伎町の女王
3.丸ノ内サディスティック
4.幸福論
5.茜さす 帰路照らされど…
6.シドと白昼夢
7.積み木遊び
8.ここでキスして
9.同じ夜
10.警告
11.モルヒネ
(太字はシングルで発売された曲。全部youtubeにある)
シングル曲は有名な方だが、変な言い方をするとちょっと嘘っぽい、わざと受けを狙った感がある。
自分が好きなのは
1.正しい街
5.茜さす 帰路照らされど…
6.シドと白昼夢
10.警告
かなあ
3.丸ノ内サディスティックもそこそこ有名だと思う。youtubeに落ちてるのを置いとく。
曲名が"幕"の内サディスティックになっている通り、これはちょっと別なバージョンだ。出だしとか元のやつはタップダンスみたいな音が入っているのだが、これはピアノだし。まあでも同じ曲だ。あと片桐はいりみたいなサムネ。
歌詞は割と意味不だが、ちゃんと理解しようとするとそれで一記事になってしまう。歌詞に丸ノ内線の駅が散りばめられているので通過したり訪れた時に思い浮かべるのも一興。というかみんなやってると思う(断定)。
1.正しい街
を聞くと椎名林檎の印象は一気に覆ると思う。これめちゃくちゃいい曲。最初の部分でドキッとする。曲自体はすごくロックなのだ。作曲理論知らんけど。椎名林檎すげえ！と思ったのはこの曲を聴いたときだった。
歌詞は英語を下手に和訳したような感じで、名詞構文がそのまま残っている。それから押韻がえげつない。
不愉かいな笑みを向け ながい沈黙の後 たい度を更に悪くしたら 冷たいアスファルトにひたいをこすらせて 期たいはずれの私を責めた
こういう謎のこだわり、椎名林檎は大好きなんだよな。
中身は恋人と別れて上京したひとが一年後に戻ってきてまた東京に戻るときの未練がましい感情を歌っている。歌詞に出てくる百道浜とか室見川は福岡市の地名。ヤフオクドームが近い。椎名林檎は以前福岡市早良区西新に住んでいたので近所の名前をとったのだろう。修学旅行で福岡に行ったのだがその時は知らなかった泣。
数式を描く練習
数式を手書きで書いて写真撮ってアップしてたら画像ばっかの記事になってダサいので綺麗に数式を打ち込む練習をしよう。
疲れた〜（こんなんで３０分もかかった）
現代物理学
駒場で初授業を受けてきた。そのなかでも記憶に残った授業の記録を取ろうと思う。
・現代物理学
数学の問題を数学の道具を用いるよりは物理のモデルを導入して物理問題にしてとくというお話。ちょっと面白かった。次の問題を扱った。
・正方形の頂点をなす4点を結ぶ最短経路を求めよ
この問題、まず以下のような図を思いつくだろう(たすき掛けと呼ぶ)
しかし、以下のようにするとさらに短い経路を作ることができる
図のようにxをおいて経路の長さをxの関数として出して微分すると、x=1-1/√3という結果が出てくる。
この過程では数学の力を利用したが、ここであえて次のような物理モデルを導入する。
・4点を結ぶ経路は、どこをとっても張力Tが均質な糸で結ばれるものとする。
実際はこんな糸が存在するかどうかは議論せず、あくまでも仮想的な糸と考える。
4点を結ぶ糸全体のエネルギーは経路の長さをlとしてT×lと表されるから、lが最小ならば、糸のエネルギーが最小
つまり、このモデルでは問題は
・糸全体のエネルギーを最小にせよ
という問題に言い換えられた。
さっき数学的手法でやったときたすき掛けは最小ではなかったが、これは次のように説明される。たすきの交わり点をほんのすこし引き離してみる
右側の交わり点は右側に引っ張られる。
同様に左側の交わり点は左側に引っ張られる。
だから、二つの交わり点ははなれる方向に向かう。よってもとのたすき掛けは力学的に安定でなく、エネルギーがより小さくなる状態が存在するため、答えとはならない。
すこしはなした交わり点はさらにはなれていくが、やがてそれぞれの交わり点で力がつりあう点で止まる。
このつりあう点こそ糸がなす角120度となる点で、このときふたつの交わり点の距離(=x)は幾何計算から1-1/√3となる。これはさっきの答えと一致する。
このようにして数学の問題を物理モデルを導入することで解くことができた。(前半終)
ケーリーハミルトンの定理
なんか大学数学の一番最初が線形代数みたいなんでやってみようと思った。っつうことで図書館で『線形代数入門』という本を借りてきた。ほんのさわりの部分だけやって一応理解してみたのでその感想
和:簡単 積:定義が謎だが一旦そういうものだと割り切ってやる
演算のやり方に慣れてきたので、ケーリーハミルトンの定理というやつを学ぶ。これなんのためにあんのか超意味不だったが次数下げのためにあるとみてへぇーと思い、3乗あたりを次数下げで計算してみる。これ何回も繰り返していったらn乗もいけるなーと思ったが作業がだるいなあ、そういえば漸化式という道具があったなと思いやってみる。A^n=P(n)A+Q(n)Eとおきもう一回Aを両辺にかけて漸化式を立式する。計算していってP(n)とQ(n)がもとまり二次行列のn乗がまとまった☺️となり満足。一般の行列のn乗も気になるがとりあえず保留。
久し振りにシャーペンを握ったが意外と勉強は楽しいなと再発見。充実した時間だった。
社会性が成長
東大は合格していました。理一です。ホッとしました。本当はこれだけで一記事引っ張るのでしょうがそれよりも自分の社会性のことについて書きたいと思います。
大学合格して、環境が激しく変化し、自分の立ち回り方の甘さが露呈したので箇条書きにして頭を整理したい。
・皆プランを作り沿って動いているが、自分だけ行き当たりばったり
合格発表の日僕はノープランでした。その結果、時程の見込みもなく、合格発表後三ヶ所を回り、意味もなく周りの人の都合に振り回され、無為に動いたことで、両親と約束していた食事の時間に遅れるという事態になった。
更に、友人たちは立ち寄った場所(予備校、塾の類)で募集しているバイトにかねてから決めていた通り抜け目なく応募する一方、自分だけぼーっとして見過ごし、機会を失うという羽目にあった(自業自得)。
これら全て自分のせいなのだが、自分が何をしたいか明確にせず行き当たりばったりで動こうとするからこんなことになるのだとその後初めて気がついた。
・バイトの必要性に初めて気付く
バイトなんてしたくないし、しなくて良いと思っていた(未熟の極み)。しかし親に毎日昼食を食堂でとるだけでいくらになるか考えてみろといわれ、最低でも500円と見て勘定したところ1ヶ月10000円は優にかかると判明。カラオケ、映画で使ったりしたいなら25000くらいないと安心できない。自分でこんなことも気づかないのかと驚愕した。もっと自分で生活するという意識を持ってイメージを持つべきと感じた。
・親に頼りすぎ
自分でやる意識がないことは親に頼りすぎなことにも裏打ちされている。実は生まれてこのかた自分で合宿の荷造りをしたことがなかった。これって異常ではないか。
こんな感じですごい馬鹿者なんだが、この三日間くらいでいろいろなことを反省し反省点を吸収し成長したような気がする。反省してからは自分である程度プランを決めるとか、自分のやりたいことは何かはっきりさせたりして、後悔することがほとんどなくなった。やっぱり意識次第でどうにでもなるなという感想。あとはほっといたら脳のスイッチがオフになってマジでうつけ者になるのでそこに注意と、対人関係が重大。対人関係は次の機会に回すことにする。
P.S.バイトは一件は応募できた。もうちょっと応募しようと思う。
