複素関数の微分
厳密ではないのでどうかそこは見逃してください。
複素数z=x＋iyに対しu(x,y)＋iv(x,y)は一つに定まるから、これをzの関数f(z)のように書く。
f(z)の微分について調べる。
(f(z＋dz)ーf(z))/dz=A＋iB
となるときf(z)は微分可能と言える。
(Δz→0の時Δzを便宜的にdzと書いてしまった。そうすると計算がしやすいので)
今dzはΔzだと思っているので
f(z＋dz)ーf(z)=(A＋iB)dzとやって構わない。
左辺をu,vを使って書き換えるとz＋dzはx＋dx＋i(y＋dy) に対応し
↓f(z+dz) ↓f(z)
{u(x＋dx,y＋dy)＋iv(x＋dx,y＋dy)}ー{u(x,y)＋iv(x,y)}＝(A＋iB)dz
dz=dx＋idyと考えられるので
{u(x＋dx,y＋dy)＋iv(x＋dx,y＋dy)}ー{u(x,y)＋iv(x,y)}=(A＋iB)(dx＋idy)
展開し、実部虚部を分けて
u(x＋dx,y＋dy)ーu(x,y)
＋i{v(x＋dx,y＋dy)ーv(x,y)}=(AdxーBdy)＋i(Bdx＋Ady)
実部虚部それぞれ比較して
u(x＋dx,y＋dy)ーu(x,y)＝AdxーBdy
v(x＋dx,y＋dy)ーv(x,y)＝Bdx＋Ady
ux＝A,uy＝-B
vx＝B,vy＝A
よって
ux＝vy,uy＝-vx
多分逆も言えるはず（ここで息絶える、、、）
